Faisons le point..

A propos de la graphie du nom: à l'origine - en Combraille auvergnate - c'est SAGOY, qu'on prononce "sagouè",  ou SAGOIX ( 16e);
Au 17e, on trouve: SAGOUAY/ SAGOUAIS/ SAGOUAYS;
Au 18e, SAGOUEIX/ SAGOUEY/ SAGOUE/ SAGOUET;
Les SAGOY habitent à Teilhet - le lieu planté de tilleuls -( 63) dans un hameau situé sur le versant de la vallée de la Bouble opposé au village; ce hameau portera bientôt le nom de ses habitants; ce nom est mentionné dans les actes du début du 18e : chez  Sagoueix; peut être disait-on aussi " à Sagouet" ( carte de Cassini, 18e).
Il est vraisemblable qu'à l'origine de ce hameau, les Sagoy ont constitué une communauté familiale agricole, forme d'organisation familiale et sociale qui perdurera en Auvergne jusqu'au 19e siècle ( le livre de Henriette DUSSOURD, Au même pot et au même feu ). Ces communautés vivaient selon une organisation rigoureuse réglée par un parrain et une marraine, choisis par la communauté, pour leur compétence.
Voir aussi Albert DAUZAT, les noms auvergnats, dans une introduction de son livre sur les noms de famille en France, de manière plus problématique : qui a donné le nom? le lieu à la famille ou la famille au lieu?
Sur la signification du nom : j'y reviendrai...
Début 18e, il n'y a plus de Sagoueix à Teilhet, dans le hameau Chez Sagoueix.
On les trouve à Gouttières, plus au sud, dans les hameaux autour de ce village et en Bourbonnais, où ils entrent au début du 18e .
Leur nom devient SAGOUY / SAGOUIS / SAGOUIT ou SAGOUI. Ils sont installés à Puy Giraud, commune de Blomard, en bordure du Bois du Roy, aujourd'hui forêt de Château- Charles. Ancêtres des 2 branches Sagouis, celle de Bèzenet et celle de Jumeaux (Montvicq).

Voici l'acte le plus ancien: registre baptêmes et mariages de TEILHET, en 1569.